卷第五十二 书画伎艺(三) 算术

类别:子部 作者:宋·江少虞 书名:宋朝事实类苑

    算术求积尺之法,如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类,物形备矣,独未有隙积一术。古法,凡算方积之物,有立方,谓六幂皆方者,其法再自乘则得之。有堑堵,谓如土墙者,两边杀,两头齐,其法并上下广折半以为之广,以直高乘之,又以直高为句,以上广减下广,余者为股,句股乘弦,以为斜高。有刍童,谓如覆■〈豆斗〉者,四面皆杀,其法倍上长,加入下长,以上广乘之,倍下长,加入上长,以下广乘之;并二位法以高乘之,六而二。隙积者,谓积之有隙者,如累棊层坛及酒家积罂之类。虽似覆■〈豆斗〉,四面皆杀,缘有刻缺,及虚隙之处,用刍童法求之,常失于数少。予思而得之,用刍童法为上行、下行,别列下广,以上广减之,余者以高乘之,六而一,并入上行。 【假令积罂,最上行纵广各二罂,最下行各十二罂,行行相次,先以上二行相次,率至十二,当十一行也,以刍童法求之。倍上行长,得四,并入下长,得十六,以上广乘之,得之二十二,又倍下长得十六,并入上长,得四十六,以下广乘之,得三百一十二,并二倍,得三百四十四,以高乘之,得二千七百八十四,重列下广十二,已上广减之,余十,以高乘之,得一百一十,并入上行,得三千八百九十四,六而一得六百四十九,此为罂数也。刍童求见实方之积,隙积求见合角不尽,益出羡积也。】 履亩之法,方员曲直尽矣。末有会圆之术,凡圆田既能析之,须使会之复圆,古法惟以中破圆法折之,其失有及三倍者。予别为析会之术,置圆田,径半之以为弦,又以半径减去所割数,余者为股,各自乘。以股除弦,余者开方,除为勾,倍之为割田之直径,以所割之数自乘,退一位倍之,又以圆径除所得,加入直径,为割田之弧,再割亦如之,减去已割之数,则再割之数也。 【假令有圆田,径十步,欲割二步,以半径为弦,五步自乘得二十五,又以半径减去所割二步,余三步为股,自乘得九,用减弦外,有十六,开平方除得四步,为勾倍之,为所割直径。以所割之数二步,自乘为四,倍之得为八,退上一倍为四尺。以员径除,今员径十,已是盈数,无可除,只用四尺,加入直径为所割之弧,凡得直径八步四尺也。再割亦依此法,如员径二十步,求弧数则当折半,乃所谓以员径除之也。】 此二类皆造微之术,古书所不到者,漫志于此。

    二

    算术多门,如求一、上驱、搭因、重因之类,皆不离乘除,惟增减一法稍异其术。都不用乘除,但补亏就盈而已。假如欲九除者,增一便是,八除者增二便是,但一位一因之,若位数少则颇简捷,位数多则愈繁,不若乘除之有常。然算术不患多学,见简即用,见繁即变,不胶一法,乃为通术也。


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